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Precondicionamiento basado en la técnica de interpolación del momento para la resolución acoplada de las ecuaciones de Navier-Stokes | Grupo de Fluidodinámica Numérica

Precondicionamiento basado en la técnica de interpolación del momento para la resolución acoplada de las ecuaciones de Navier-Stokes

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La implementación parcialmente implícita\nde la ecuación discretizada de Poisson que se propone permite evitar los\nelementos nulos de la diagonal principal de la matriz de coeficientes cuando se\nresuelven flujos incompresibles y consigue el acoplamiento velocidad-presión en\nun nodo en la iteración actual (es decir, implícitamente) sin aumentar el\ntamaño de la molécula computacional. Además, el coeficiente que resulta en la\ndiagonal principal de la ecuación de la presión involucra (la inversa de)\nvelocidades locales convectivas y difusivas, y se puede considerar como un\ncoeficiente de precondicionamiento local que no necesita un tratamiento especial\nen los puntos de estancamiento.</p>\n\n<h1><strong>Interpolación del Momento Compacta</strong></h1>\n\n<p>Se propone una versión mejorada de la técnica usada para evitar el\ndesacoplamiento velocidad-presión en mallas colocalizadas, originalmente\npropuesta por Rhie and Chow (1983), conocida como Interpolación del Momento. El\nprocedimiento tiene en cuenta tanto coeficientes de relajación como términos\ntransitorios en las ecuaciones de momento discretizadas. La expresión final que\nse propones es compacta y fácil de implementar (lo que permite su uso para\nimplementar la ecuación de Poisson en el algoritmo acoplado tal y como se\ndescribe arriba). La velocidad en la cara se expresa como una interpolación\nlineal usual más un término de corrección que incluye, a su vez, varios\nsumandos: uno depende de la corrección original de Rhie y Chow y varios\nsumandos más que dependen de la propia corrección evaluada en la iteración\nanterior (en caso de aplicar relajación) y en pasos de tiempo anteriores (en\ncaso de resolver un flujo no estacionario). Se demuestra mediante análisis\nnumérico y/o simulación de problemas de validación computacionales que el\ncomportamiento de esta Interpolación del Momento Compacta es satisfactorio: se\nevitan las oscilaciones espurias de la presión, la solución convergida y\nestacionaria es independiente tanto del coeficiente de relajación como del\ntamaño del paso temporal, la precisión de los esquemas de discretización es\nretenida.</p>\n\n<div><img src=\"http://gfn.unizar.es/sites/default/files/cavity_OMIvCMI.jpg\"\nalt=\"\" /></div>\n\n<h1><strong>Resolución del sistema</strong></h1>\n\n<p>El sistema algebraico acoplado se linealiza mediante el procedimiento de\nsustitución sucesiva (o de Picard) y la convergencia del método iterativo\nrecae en la dominancia de la diagonal principal (una condición suficiente). Con\neste propósito, se usa una implementación diferida de los esquemas convectivos\nde interpolación de las variables transportadas y, además, se introduce\nrelajación inercial para compensar los términos extra fuera de la diagonal\nprincipal debidos al acoplamiento de las variables físicas.</p>\n\n<h1><strong>Resultados</strong></h1>\n\n<p>La capacidad del algoritmo propuesto para resolver de una manera robusta y\nprecisa una amplia variedad de flujos se muestra mediante la presentación de\nlos resultados obtenidos en problemas de validación. Así, el flujo en una\ncavidad con una pared móvil es resuelto para un rango de números de Reynolds\nque incluye desde flujos dominado por al difusión (Re=1e2×xx) hasta flujos\naltamente convectivos (Re=1e4). El comportamiento del algoritmo para resolver\nflujos con densidad variable es estudiado mediante el problema de la convección\nnatural en una cavidad cuadrada con grandes diferencias de temperatura (caso en\nel que la aproximación de Boussinesq no es válida). Respecto a flujos no\nestacionarios, se propone una integración temporal de paso dual completamente\nimplícita y se muestra la eficiencia del algoritmo en el problema del\ndesprendimiento de vórtices periódico tras un cilindro cuadrado. Se resuelve\nsatisfactoriamente tanto un caso laminar (Re=100) como uno turbulento\n(Re=22000); este último mediante la técnica basada en la simulación de las\ngrandes escalas (LES) .</p>\n\n<div><img src=\"http://gfn.unizar.es/sites/default/files/buoy_Ra1e7.jpg\" alt=\"\"\nwidth=\"300\" height=\"300\" /></div>\n\n<div><img src=\"http://gfn.unizar.es/sites/default/files/LES_vortz3D.jpg\" alt=\"\"\n/></div>\n\n<!-- by Texy2! -->', created = 1501209736, expire = 1501296136, headers = '', serialized = 0 WHERE cid = '3:13e371a11eeeebe227e533f63427e422' in /srv/www/gfn/includes/cache.inc on line 112.
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(Ana Cubero, Febrero 2008)

Tesis disponible aquí

Ecuación de Poisson

En este trabajo se propone un nuevo algoritmo para la resolución acoplada e implícita de las ecuaciones de Navier-Stokes. Dicho algoritmo se basa en una implementación parcialmente implícita de una ecuación de Poisson para la presión, que se deduce calculando las velocidades en las caras de la ecuación de continuidad discretizada mediante la técnica conocida como Interpolación del Momento (usada habitualmente en mallas colocalizadas para evitar oscilaciones de presión espurias). La implementación parcialmente implícita de la ecuación discretizada de Poisson que se propone permite evitar los elementos nulos de la diagonal principal de la matriz de coeficientes cuando se resuelven flujos incompresibles y consigue el acoplamiento velocidad-presión en un nodo en la iteración actual (es decir, implícitamente) sin aumentar el tamaño de la molécula computacional. Además, el coeficiente que resulta en la diagonal principal de la ecuación de la presión involucra (la inversa de) velocidades locales convectivas y difusivas, y se puede considerar como un coeficiente de precondicionamiento local que no necesita un tratamiento especial en los puntos de estancamiento.

Interpolación del Momento Compacta

Se propone una versión mejorada de la técnica usada para evitar el desacoplamiento velocidad-presión en mallas colocalizadas, originalmente propuesta por Rhie and Chow (1983), conocida como Interpolación del Momento. El procedimiento tiene en cuenta tanto coeficientes de relajación como términos transitorios en las ecuaciones de momento discretizadas. La expresión final que se propones es compacta y fácil de implementar (lo que permite su uso para implementar la ecuación de Poisson en el algoritmo acoplado tal y como se describe arriba). La velocidad en la cara se expresa como una interpolación lineal usual más un término de corrección que incluye, a su vez, varios sumandos: uno depende de la corrección original de Rhie y Chow y varios sumandos más que dependen de la propia corrección evaluada en la iteración anterior (en caso de aplicar relajación) y en pasos de tiempo anteriores (en caso de resolver un flujo no estacionario). Se demuestra mediante análisis numérico y/o simulación de problemas de validación computacionales que el comportamiento de esta Interpolación del Momento Compacta es satisfactorio: se evitan las oscilaciones espurias de la presión, la solución convergida y estacionaria es independiente tanto del coeficiente de relajación como del tamaño del paso temporal, la precisión de los esquemas de discretización es retenida.

Resolución del sistema

El sistema algebraico acoplado se linealiza mediante el procedimiento de sustitución sucesiva (o de Picard) y la convergencia del método iterativo recae en la dominancia de la diagonal principal (una condición suficiente). Con este propósito, se usa una implementación diferida de los esquemas convectivos de interpolación de las variables transportadas y, además, se introduce relajación inercial para compensar los términos extra fuera de la diagonal principal debidos al acoplamiento de las variables físicas.

Resultados

La capacidad del algoritmo propuesto para resolver de una manera robusta y precisa una amplia variedad de flujos se muestra mediante la presentación de los resultados obtenidos en problemas de validación. Así, el flujo en una cavidad con una pared móvil es resuelto para un rango de números de Reynolds que incluye desde flujos dominado por al difusión (Re=1e2×xx) hasta flujos altamente convectivos (Re=1e4). El comportamiento del algoritmo para resolver flujos con densidad variable es estudiado mediante el problema de la convección natural en una cavidad cuadrada con grandes diferencias de temperatura (caso en el que la aproximación de Boussinesq no es válida). Respecto a flujos no estacionarios, se propone una integración temporal de paso dual completamente implícita y se muestra la eficiencia del algoritmo en el problema del desprendimiento de vórtices periódico tras un cilindro cuadrado. Se resuelve satisfactoriamente tanto un caso laminar (Re=100) como uno turbulento (Re=22000); este último mediante la técnica basada en la simulación de las grandes escalas (LES) .